Аффінноє перетворення і його матричне уявлення
No comments« Логічна система координат | Математичне завдання прямій на площині »
[ R1,1 R1,2 0 ]
[ R2,1 R2,2 0 ]
[ tx ty 1 ]
Якщо помножити вектор-рядок на цю матрицю отримуємо результат перетворення:
[ x у 1 ] * [ R1,1 R1,2 0 ]
[ R2,1 R2,2 0 ]
[ tx ty 1 ]
=
[ x’ у’ 1 ] + [ tx ty 1 ]
При цьому [ x’ у’ ] = R * [ x у ]
Прим. Цікавий читач вже поставив собі питання: у чому сенс визначника матриці R? При аффінном перетворенні площі всіх фігур змінюються в |R|. (Можна строго довести це з погляду математики, але тут цей факт наводиться без доказу.)
Т.ч. аффінноє перетворення представляється у вигляді композиції деякого перетворення, що задається матрицею R, і паралельного перенесення. Розберемо детальніше природу цієї матриці і можливості, які вона нам дає.
Матриця R визначає новий базис площини. Тобто вектор (1, 0) переходить в (R1,1, R1,2), вектор (0, 1) переходить в (R2,1, R2,2). Новий базис це рядки матриці R.
Приклад.
При віддзеркаленні щодо осі у, базисний вектор по осі ординат зберігається, а по осі абсцис переходить в (-1, 0). Т.ч. матриця R виглядатиме таким чином:
[ -1 0 ]
[ 0 1 ]
Тепер стає ясно, що окрім вищеперелічених перетворень, за допомогою аффінного перетворення можна отримати скіс:
Вище приведені базові відомості про такий могутній інструмент, як аффінноє перетворення. Залишається багато питань: який підклас аффінних перетворень зберігає кути між прямими? Як можна представити аффінноє перетворення у вигляді композиції декількох підкласів? Як задавати складніші перетворення, наприклад, осьова симетрія щодо довільної прямої?
Відповіді на ці питання і детальніший розгляд аффінного перетворення будуть приведені окремо, як розділ курсу теоретичної геометрії.
Tags: вісь, двомірна крапка, коефіцієнти масштабування, координата, крапка, матриця, однорідні координати, паралельне перенесення, перетворення
2D теорія
Схожі записи
- Логічна система координат (25.03.2009)
... У Windows використовується система координат, в якій вісь у направлена вниз. При природному порядку малювання, об'єкти будуть намальовані вверх ногами. Щоб усунути всі ці недоліки використовується логічна система координат. Можна встановити цю систему координат, використовуючи WINAPI, але ми зробимо це уручну. ... - Тривимірної 3D графіки (05.04.2009)... Для створення реалістичної моделі об'єкту використовують геометричні примітиви (прямокутник, куб, куля, конус та інші) і гладкі, так звані поверхні сплайнів. У останньому випадку застосовують найчастіше метод бікубічеськіх раціональних В-сплайнов на нерівномірній сітці (NURBS). Вид поверхні при цьому визначається розташованою в просторі сіткою опорних точок. Кожній крапці привласнюється коефіцієнт, величина ...
- Реалізація апаратних модулів графічної системи (28.02.2009)
... Деякі програми здатні динамічно міняти коефіцієнт переміщення. В цьому випадку, чим швидше пересуватиметься миша, тим далі на екрані переміститься курсор. Роздільна здатність монітора. Більше всього плутанина у використанні терміну роздільна здатність спостерігається в цій області. Річ у тому, що у монітора є не мало характеристик, які можна розглянути, як його роздільна ... - Растрові і векторні графічні редактори (23.02.2009)
... Для створення картинки будь-якого ступеня складності - будь то портрети або пейзажі, а при бажанні навіть фільми, - відтворюючи кадр за кадром, вам буде потрібно один з професійних графічних редакторів. Растрове зображення складається з безлічі крапок (пікселов) і так, власне, зберігається - кожна колірна ... - Вектори в просторі Однорідні координати Матриці перетворень (29.03.2009)
... Однорідні координати - координати, що володіють тією властивістю, що визначуваний ними об'єкт не міняється при множенні всіх координат на одне і те ж число. Однорідними координатами вектора (х, у, z) є трійка чисел (x', у', z', w), де х = х' / w, у = у' ...
Thursday, March 26th, 2009 at 09:15 and is filed under 2D теорія. You can follow any responses to this entry through the feed. Both comments and pings are currently closed.